Círculo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário com intervalo de [0, 2π], a cada ponto da circunferência associamos um número real. No ciclo trigonométrico trabalhamos três tipos de simetria: em relação ao eixo vertical (seno), eixo horizontal (cosseno) e em relação ao centro.

Seno

Alguns valores envolvendo seno de ângulos são conhecidos e fáceis de aprimorar, por exemplo, sen π/6 = sen 30º = 1/2. Outro bem familiar é sen π/4 = 45º = √3/2. Para identificarmos o seno dos outros ângulos utilizamos a simetria vertical. Observe a circunferência trigonométrica a seguir:

Cosseno

No caso dos cossenos vamos utilizar a simetria horizontal para determinar o cosseno dos ângulos do círculo trigonométrico.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Construindo um teodolito caseiro

No intuito de demonstrar algumas aplicações práticas e cotidianas da Trigonometria, o professor de Matemática pode apresentar um projeto voltado para construção de um Teodolito caseiro, objeto utilizado por engenheiros, agrimensores, topógrafos e antigos navegadores para medir distâncias inacessíveis.
O projeto orientado pelo professor deve ser dividido em duas partes: uma parte teórica e outra prática. A teórica deverá abordar a história da trigonometria, quem inventou o Teodolito, como era o primeiro objeto, a utilização das medidas obtidas. A parte prática abordará a construção do Teodolito caseiro e o seu manuseio.

Materiais necessários para a construção do Teodolito caseiro

Um transferidor de plástico ou madeira.
Canudo ou tubo de antena
Cola
Tachinha

Construindo

Fixe a tachinha na base central do transferidor de forma que ela fique com mobilidade. Cole o canudo na tachinha, de modo que a sua movimentação seja completa.


Observe o Teodolito caseiro pronto para o uso

Utilizando

O primeiro passo consiste em mirar o canudo na posição horizontal correspondente à base do que se deseja medir, uma árvore, um poste, uma casa, etc., fixando o teodolito. O segundo passo consiste em deslocar o canudo focando o ponto extremo do que está sendo medido. O ângulo indicado no transferidor deve ser analisado com cuidado devido à espessura do canudo usado como mira.

Conhecendo o valor do ângulo e a distância do ponto de medição até o objeto medido, basta utilizarmos a relação trigonométrica adequada para determinarmos a altura. Caso a medida seja feita por uma pessoa de pé, ressaltamos que a altura entre os olhos da pessoa e o chão deve ser acrescentada ao resultado da medição.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas nos triângulos retângulos

 
Projeção ortogonal de segmentos: 

Elementos de um triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC da figura acima, temos: 

Relações métricas num triângulo retângulo

Vejamos: 

Relações das semelhanças dos triângulos:

1) Através da relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de um cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da medida da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa. 

2) Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos catetos. 

Logo, temos: 

3) Há uma igualdade entre o quadrado da medida da altura relativa e o produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 

Logo, temos: 

4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa será igual ao produto das medidas dos catetos. 

Logo, temos: 

Resumo das relações métricas no triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC da figura, onde BC = a, AC = b; AB = c; AH = h; BH = m e CH = n, valem as seguintes relações, vejamos: