Aplicações de números complexos.

Números Complexos e Aplicação

Tal trabalho objetiva mostrar que os números complexos, como muitos imaginam, não são aplicados apenas em engenharia elétrica, mas sim, em problemas do Ensino Médio, tal como: encontrar os lados, em números inteiros, de um triângulo retângulo, dada a medida da hipotenusa, que é o que veremos a seguir.

José era filho de um agricultor e frequentava a escola do Ensino Médio. Certo dia o professor passou uma tarefa para casa sobre números complexos. Assim que José chega em casa, sua mãe pergunta: - Qual o dever de casa, meu filho? José responde: - Uma lista de exercícios sobre números complexos. O pai de José ao ouvir falar em números complexos, pergunta ao filho: - E para que serve meu filho, na vida real, números complexos? O filho responde: - Eu fiz a mesma pergunta ao professor, e ele me respondeu que a gente só veria a aplicação dos números complexos, caso a gente no futuro fizesse um curso de graduação em engenharia elétrica. - É por isso, meu filho, que na época que estudei o Ensino Médio (antigo científico), nunca tive o menor interesse em aprender esse tal de números complexos. - Por que papai? - Ora, porque durante o período que frequentei a escola do Ensino Médio, em momento algum tive a oportunidade de ver, em sala de aula, uma só aplicação da matemática "ensinada" numa situação prática do dia a dia.

Certo dia o pai de José e encontra com um professor por nome Sebá e pergunta-lhe: - Professor, sou agricultor e meu filho estuda o Ensino Médio; o professor dele passou uma lista de exercícios sobre números complexos e disse que os números complexos só têm aplicação em curso de graduação de engenharia elétrica, isso é verdade? Respondeu o professor Sebá: - Não! Vejamos alguns exemplos.

Aplicações dos números complexos

1. Suponha que você tenha um fio de arame com 85 metros de comprimento e quer dividi-lo em duas partes, cada parte um número inteiro, e com cada parte fazer um quadrado, pergunta-se: qual deve ser o tamanho de cada parte?

Resolução:

85=x2+y2

85=5⋅17=(22+12)⋅(42+12)

Aplicando números complexos, obtém-se:

(2+i)⋅(4+i)=−7+6i. Logo, x=7 e y=6.

Portanto: 85=x2+y2=72+62

Resposta. Uma parte com 36m e a outra com 49m, ou seja, um quadrado de lado 6m e outro de lado 7m.

 

Mas existe algum outro modo de cortar o arame, professor?

Vejamos:

Trocando o sinal de 2+i ou de 4+i. Troquemos o sinal de 2+i:

(2−i)⋅(4+i)=9−2i

85=92+22

Resposta. Uma parte com 4m e a outra com 81m, ou seja, um quadrado de lado 2m e outro, de lado 9m.

 

2. Suponha que você delimitou um terreno retangular com perímetro igual a 226 metros e notou que a diagonal media 85 metros, pergunta-se: quais as medidas do retângulo em números inteiros?

Resolução:

Como o retângulo é composto por dois triângulos retângulos iguais, logo, basta achar as medidas dos lados de um deles. Para achar as medidas dos lados de um triângulo retângulo tendo o valor da hipotenusa, basta usar as fórmulas de Euclides, as quais são:

a=x2−y2 (um dos catetos)

b=2xy (o outro cateto)

c=x2+y2 (hipotenusa)

x>y

Como 85=92−22, temos que

a=92−22=77

b=2⋅9⋅2=36

c=92+22=85

As medidas dos lados do triângulo retângulo são: (a,b,c)=(77,36,85)

Como a diagonal de um retângulo é comum a dois triângulos retângulos iguais, logo, unindo os dois triângulos retângulos pelas duas hipotenusas, obtém-se um retângulo com as medidas:

lado menor: 36m, lado maior: 77m e diagonal: 85m.

Perímetro do retângulo: 2⋅36+2⋅77=226m

- O senhor sabe que é possível, usando números complexos, delimitar outro terreno retangular com a diagonal medindo 85m e perímetro menor que 226m?

- Duvido! Só acredito vendo.

- Vejamos:

Como 85 pode ser escrito de outra maneira: 85=72+62, então:

a=72−62=13

b=2⋅7⋅6=84

c=72+62=85

As medidas dos lados do triângulo retângulo são: (a,b,c)=(13,84,85)

Como a diagonal de um retângulo é comum a dois triângulos retângulos iguais, logo, unindo os dois triângulos retângulos pelas hipotenusas, obtém-se um retângulo com as seguintes medidas:

lado menor: 13m, lado maior: 84m e diagonal: 85m.

Perímetro do novo retângulo: 2⋅13+2⋅84=194m

Usando números complexos, foram gastos 32m a menos para delimitar um terreno com mesma diagonal (claro que a área deste terreno é bem menor).

3. Com 25 tijolos faz-se um quadrado com cada lado 5 tijolos; se o quadrado de lado 5 for dividido em dois quadrados menores, qual a medida do lado de cada um?

Resolução:

25=5⋅5=(12+22)⋅(12+22)=(1+2i)⋅(1+2i)=−3+4i

25=32+42

Resposta. Um quadrado com lado 3 tijolos e outro com lado 4 tijolos.

Trocando o sinal de 1+2i:

(1−2i)⋅(1+2i)=5+0i

25=02+52

Matematicamente, 25=02+52 é uma igualdade verdadeira, mas não satisfaz ao problema proposto.

Conclusão

Para que ensinar triângulos retângulos, ternos pitagóricos e números complexos somente pelo fato de esses assuntos fazerem parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é uma coisa que isolada, não significa absolutamente nada. Pior: atrapalha a carreira de muitos jovens.

Como podemos esperar algum resultado de ensino da matemática do Ensino Fundamental e Médio, se as ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?

Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso e fundamental aqui que estão aprendendo!

Diante do exposto, pode-se afirmar que:

• a aversão que o aluno tem á matemática, decorre da distância que o Ensino Fundamental e Médio guarda da realidade em que vive;
• já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidade do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a aversão à matemática;
• toda a matemática do Ensino Fundamental e Médio é importante para a vida do aluno, mas da forma como é "ensinada": Não serve para nada.

TICs na matemática.